Question

已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；

（1）若，求点的坐标；

（2）求面积的最大值.

Answer

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；

（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.

（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，

由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，

所以或，由得或，

（2）设直线的方程为，，，，

由得，于是，

所以，，

所以的中点的坐标，

由，所以，

所以，因为，

所以，由，，所以，

又因为，

点到直线的距离为，

所以，

记，，令解得，，

所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

又，

所以当时 ，取得最大值，此时，

所以的面积的最大值为.

考点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.