Question

已知等差数列满足：，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）或.

【解析】

试题分析：（1）设数列的公差为，根据成等比数列求得的值，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）中求得的，根据等差数列的求和公式求出，解不等式求出满足条件的的.

（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，

所以，解得或，

当时，；当时，，

所以数列的通项公式为或.

（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.

当时，，

令，即，

解得或（舍去）

此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.

综上所述，当时，不存在正整数；

当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.

考点：等差数列、等比数列的性质，等差数列的求和公式.