Question

（本小题满分12分）

如图，三棱锥中，平面.

（1）求证：平面；

（2）若，为中点，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析.（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由平面BCD，平面BCD，

得到.

进一步即得平面.

（2）思路一：由平面BCD，得.

确定.

根据平面ABD，

知三棱锥C-ABM的高，

得到三棱锥的体积.

思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，

根据平面ABD平面BCD=BD，

通过过点M作交BD于点N.

得到平面BCD，且，

利用计算三棱锥的体积.

试题解析：解法一：

（1）∵平面BCD，平面BCD，

∴.

又∵，，

平面ABD，平面ABD，

∴平面.

（2）由平面BCD，得.

∵，∴.

∵M是AD的中点，

∴.

由（1）知，平面ABD，

∴三棱锥C-ABM的高，

因此三棱锥的体积

.

解法二：

（1）同解法一.

（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，

又平面ABD平面BCD=BD，

如图，过点M作交BD于点N.

则平面BCD，且，

又，

∴.

∴三棱锥的体积

.

考点：垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”.