Question

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.

（1）求证：平面BCG；

（2）求三棱锥D-BCG的体积.

附：椎体的体积公式，其中S为底面面积，h为高.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知得，是的中位线，故，则可转化为证明平面BCG．易证，则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，且是中点，故，．从而平面BCG，进而平面BCG；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面平面，利用面面垂直的性质，易作出面的垂线，同时求出点到面的距离，从而可求出点到平面距离，即四面体的高，进而求四面体体积．

（1）证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．

（2）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．

又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．

所以．

考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．