Question

已知函数，.

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）依题意，只需证明函数在区间上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当时，，故在上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数在区间上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数大致图象，考虑到结论中，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设，则，，根据第一问中的符号，从而可判断函数的单调性，进而判断函数大致图象，确定函数的零点，寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式．

证明：（1）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．

（2）当时，化简得．令．记

．．则．由（1）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．

．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．

考点：１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．