Question

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

Answer

（1）（为参数）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出 参数方程；（2）将直线与圆

联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．

（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．

即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．

（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．

所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为

，即．

考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．