Question

如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为.

【解析】

试题分析：（1）由题设知其中

由,结合条件的面积为，可求的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得的值，从而确定椭圆的标准方程；

（2）假设存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点为由圆的对称性可知，利用在圆上及确定交点的坐标，进而得到圆的方程.

【解析】
（1）设，其中，

由得

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故

因此，所求椭圆的标准方程为：

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知

，

由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设

由得而故

圆的半径

综上，存在满足条件的圆，其方程为：

考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量数量积的应用.