Question

设函数.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，易得函数的定义域为，求出导函数，利用判定函数在定义区间内的单调性，并求出的极小值；

（2）由函数，令，得，

设，由求出函数的单调性以及极值，并且求出函数在的零点，画出的大致图像，并从图像中，可以得知，当在不同范围的时候，函数和函数的交点个数

（3）对任意恒成立，等价于恒成立，则在上单调递减，即在恒成立，

求出的取值范围.

试题解析：（1）当时，

易得函数的定义域为

当时，，此时在上是减函数；

当时，，此时在上是增函数；

当时，取得极小值

(2)函数

令，得

设

当时，，此时在上式增函数；

当时，，此时在上式增函数；

当时，取极大值

令，即，解得，或

函数的图像如图所示：

由图知：

当时，函数和函数无交点；

②当时，函数和函数有且仅有一个交点；

③当时，函数和函数有两个交点；

④时，函数和函数有且仅有一个交点；

综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.

对任意恒成立

等价于恒成立

设

在上单调递减

在恒成立

当且仅当当时，

的取值范围是

考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.