Question

（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.

Answer

边长为4，体积为．

【解析】

试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．

试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．

即，三棱锥是边长为2的正四面体

∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于

∴为中点，为的重心，底面

∴，，

【考点】图象的翻折，几何体的体积．