Question

（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.

Answer

（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.

【解析】

试题分析：（1）比较容易，只要根据已知列出不等式组，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又有条件，这时还要忘记分类讨论，时，，满足，当时，有，解这不等式时，分类，分和进行讨论；（3）由已知可得∴，∴，，这样我们可以首先计算出的取值范围是，再由，可得，从而，解得，即最大值为1999，此时可求得．

试题解析：（1）由题得，

（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，

∴，∴，∴.

又∵，∴当时，对恒成立，满足题意.

当时，

∴①当时，，由单调性可得，，解得，

②当时，，由单调性可得，，解得，

（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，

∴，∴，,

所以时，，时，，所以．

∴

又∵，∴

∴，∴，解得，，

∴的最大值为1999，此时公差为．

【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.