Question

如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.

（1）求证：；

（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

Answer

（1）详见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）利用正方形的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理证明；（2）由条件底面，证明，，

建立空间直角坐标系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直线与平面所成的角，再设点，因为点在棱上，所以可设，利用向量的坐标运算，求的值，最后用空间中两点间的距离公式求.

（1）在正方形中，因为是的中点，所以，

因为平面，所以平面，

因为平面，且平面平面，

所以.

（2）因为底面，所以，，

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，设平面的法向量为，

则，即，令，则，所以，

设直线与平面所成的角为，则，

因此直线与平面所成的角为，

设点，因为点在棱上，所以可设，

即，所以，

因为向量是平面的法向量，所以，

即，解得，所以点的坐标为，

所以.

考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.