Question

已知函数.

（1）求证：；

（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.

Answer

（1）详见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.

【解析】

试题分析：（1）求，由，判断出，得出函数在上单调递减，从而；（2）由于，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，对分；；进行讨论，

用导数法判断函数的单调性，从而确定当对恒成立时的最大值与的最小值.

（1）由得，

因为在区间上，所以，在区间上单调递减，

从而.

（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”，

令，则，

当时，对任意恒成立，

当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立.

当时 ，存在唯一的使得，

、在区间上的情况如下表：

因为在区间上是增函数，所以，进一步“对任意恒成立”

，当且仅当，即.

综上所述，当且仅当时，对任意恒成立.当且仅当时，对任意恒成立.

所以，若对恒成立，则的最大值为与的最小值1.

考点：导数法求函数的单调性，恒成立、分类讨论.