Question

已知椭圆：.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer

（1）；（2）直线与圆相切.

【解析】

试题分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，，利用求得离心率；（2）设点，，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.

（1）由题意椭圆的标准方程为，

所以，，从而，

所以.

（2）直线与圆相切，证明如下：

设点，，其中，

因为，所以，即，解得，

当时，，代入椭圆的方程得，

此时直线与圆相切.

当时，直线的方程为，

即，

圆心到直线的距离为，又，，

故.

故此直线与圆相切.

考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.