Question

如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.

（1）证明：；

（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

Answer

（1）详见试题分析；（2）（或）．

【解析】

试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立空间直角坐标系，计算向量数量积为0，从而证得．也可以利用综合法：先由已知平面得平面平面，再由面面垂直的性质定理证得平面，而为菱形中最后由三垂线定理得；（2）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的大小．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值大小．

试题解析：解法一：（1）平面，平面，故平面平面．又，

平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（2）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．

解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．

（1）设，由题设有则由得，即（①）．于是．

（2）设平面的法向量则即．

故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．

考点：1．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明；2．二面角的计算．