Question

已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.

Answer

（1）；（2）直线的方程为或．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．

试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则

．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．

由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．

考点：1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．