Question

设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为．已知．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．

Answer

（1）；（2）直线的斜率为或．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的右焦点的坐标为，由已知，可得，结合，可得，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用及数量积的坐标运算求出点的坐标，再求出以线段为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率．

（1）设椭圆的右焦点的坐标为．由，可得，又，则，∴椭圆的离心率．

（2）由（1）知，，故椭圆方程为．设．由，，有，．由已知，有，即．又，故有 ①

又∵点在椭圆上，故 ②

由①和②可得．而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为．设圆的圆心为，则，，进而圆的半径．设直线的斜率为，依题意，直线的方程为．由与圆相切，可得，即，整理得，解得．∴直线的斜率为或．

考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系．