Question

如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.

（1）证明：为的中点；

（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；

（3）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.

Answer

（1）为的中点；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用面面平行来证明线线平行∥，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出，即为的中点.（2）连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.先表示出和，就可求出，从而.（3）可以有两种方法进行求解.第一种方法，用常规法，作出二面角.在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.第二种方法，建立空间直角坐标系，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为，所以.从而，，所以，.设平面的法向量，再利用向量求出二面角.

（1）证：因为∥，∥,，

所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥.

故与的对应边相互平行，于是.

所以，即为的中点.

（2）【解析】
如图，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.

，

，

所以，

又

所以，

故.

（3）解法1如第（20）题图1，在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.

所以为平面与底面所成二面角的平面角.

因为∥，，所以.

又因为梯形的面积为6，，所以.

于是.

故平面与底面所成二面角的大小为.

解法2如图，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.

设.因为，所以.

从而，，

所以，.

设平面的法向量，

由得，

所以.

又因为平面的法向量，

所以，

故平面与底面所成而面积的大小为.

考点：1.二面角的求解；2.几何体的体积求解.