Question

设实数，整数，.

（1）证明：当且时，；

（2）数列满足，，证明：.

Answer

（1）证明：当且时，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明原不等式成立，可以用数学归纳法，当时，当，由成立.得出当时，

，综合以上当且时，对一切整数，不等式均成立.（2）可以有两种方法证明：第一种方法，先用数学归纳法证明.其中要利用到当时，.当得.由（1）中的结论得.因此，即.所以时，不等式也成立.综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.再证由可得，即.第二种方法，构造函数设，则，并且

.由此可得，在上单调递增，因而，当时，.再利用数学归纳法证明.

（1）证明：用数学归纳法证明

①当时，，原不等式成立.

②假设时，不等式成立.

当时，

所以时，原不等式也成立.

综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.

证法1：先用数学归纳法证明.

①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.

由易知.

当时，.

当得.

由（1）中的结论得.

因此，即.所以时，不等式也成立.

综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.

再由可得，即.

综上所述，.

证法2：设，则，并且

.

由此可得，在上单调递增，因而，当时，.

①当时，由，即可知

，并且，从而.

故当时，不等式成立.

②假设时，不等式成立，则当时，，即有.

所以当时，原不等式也成立.

综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.

考点：1.数学归纳法证明不等式；2.构造函数法证明不等式.