Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

Answer

（I）证明：见解析；（II）平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

【解析】

试题分析：（I）由四边形ABCD是等腰梯形，且，

可得且.

连接，可得，

从而得到四边形为平行四边形，

进一步可得平面.

（II）本题解答可有两种思路，一是向量法，二是几何法.

思路一：连接AC，MC，可得，

得到.以C为坐标原点，建立直角坐标系.

利用.求角的余弦值.

思路二：按照“一作，二证，三计算”.

过C向AB引垂线交AB于N，连接，

由平面ABCD，可得，

得到为二面角的平面角，

利用直角三角形中的边角关系计算平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.

试题解析：（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且，

所以，又由M是AB的中点，

因此且.

连接，

在四棱柱中，

因为，

可得，

所以，四边形为平行四边形，

因此，

又平面，平面，

所以平面.

（II）解法一：

连接AC，MC，

由（I）知CD//AM且CD=AM，

所以四边形AMCD为平行四边形，

可得，

由题意，

所以为正三角形，

因此

因此.

以C为坐标原点，建立直角坐标系.

所以.

因此，

所以，，

设平面的一个法向量，

由，得，

可得平面的一个法向量.

又为平面ABCD的一个法向量，

因此.

所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

解法二：

由（I）知，平面平面ABCD=AB，

过C向AB引垂线交AB于N，连接，

由平面ABCD，可得，

因此为二面角的平面角，

在中，，

可得，

所以，

在中，，

所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

考点：立体几何的平行关系、垂直关系，几何体的几何特征，二面角的计算，空间向量的应用.