Question

（本小题满分13分）

设函数（为常数，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

Answer

（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.

【解析】

试题分析：（I）函数的定义域为，

由可得，

得到的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）分，，，时，

讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.

试题解析：（I）函数的定义域为，

由可得，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，

故在内不存在极值点；

当时，设函数，

因为，

当时，

当时，，单调递增，

故在内不存在两个极值点；

当时，

得时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

所以函数的最小值为，

函数在内存在两个极值点；

当且仅当，

解得，

综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.