Question

设函数，其中.

（1）求函数的定义域（用区间表示）；

（2）讨论函数在上的单调性；

（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.

Answer

（1）；

（2）单调递增区间为，，

递减区间为，；

（3）

.

【解析】

试题分析：（1）由已知条件得到或，对上述两个不等式进行求解，并比较端点值的大小，从而求出函数的定义域；（2）求导，并求出方程的根，求出不等式的解集，并与定义域取交集得到函数的单调递增区间，用同样的办法求出函数的单调递减区间，但需注意比较各端点值得大小；（3）先求出方程的解，然后结合函数的单调性以及函数的定义域得到不等式的解集合.

试题解析：（1）可知，

，

或，

或，

或，

或或，

所以函数的定义域为

；

（2），

由得，即，

或，结合定义域知或，

所以函数的单调递增区间为，，

同理递减区间为，；

（3）由得，

，

，

，

或或或，

，，，

，，

结合函数的单调性知的解集为

.

【考点定位】本题以复合函数为载体，考查函数的定义域、单调区间以及不等式的求解，从中渗透了二次不等式的求解，在求定义域时考查了分类讨论思想，以及利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.