Question

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆的内接四边形的性质得，由等腰三角形的性质得，则有

，充分挖掘角的等量关系是解题关键；（Ⅱ）要证明为等边三角形，只需证明三个内角相等．由得，需证，故只需证明．由得，在弦的垂直平分线上，该直线必然是直径所在的直线，又是非直径的弦的中点，故该直线垂直于，则，进而证明为等边三角形．

试题解析：（I）由题设知四点共圆，所以．由已知得，故．

（II）设的中点为，连接，则由知，故在直线上．又不是的直径，的中点为，故，即．所以，故．又

，故．由（1）知，，所以为等边三角形.

【考点定位】1、圆的内接四边形的性质；2、垂径定理的推论．