Question

(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.

求证：

若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.

Answer

（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为

【解析】

试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD

（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为

故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.

求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及

平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.

试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，

又平面PAD平面ABCD

平面PAD平面ABCD=AD

所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD

（2）【解析】
过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.

故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG

在直角三角形BPC中，

设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为

因为

故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.

建立如图所示的空间直角坐标系，

故

设平面BPC的法向量，则由,得

解得

同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为

考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角