Question

（本小题满分13分）

如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.

试题解析：（1）设，因为，所以

直线OB方程为，直线BF的方程为，解得

又直线OA的方程为，则

又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为

（2）由（1）知，则直线的方程为，即

因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点

直线与直线的交点为

则

因为是C上一点，则，代入上式得

，所求定值为

考点：双曲线方程，直线的交点