Question

（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记

（1）当时，求的分布列和数学期望；

（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；

（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。

Answer

（1）

2

3

4

5

P

（2）当时，，当时

（3）当时，当时，

【解析】

试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，

当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.

试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为

2

3

4

5

P

（2）和恰好相等的所有可能值为

又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；

所以当时，

当时

（3）由（2）当时，因此

而当时，理由如下：

等价于①

用数学归纳法来证明：

当时，①式左边①式右边所以①式成立

假设时①式成立，即成立

那么，当时，①式左边

=①式右边

即当时①式也成立

综合得，对于的所有正整数，都有成立

考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法