Question

如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.

（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；

（２）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

Answer

（1）点的坐标为；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标，由已知椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，可设出直线的方程为，结合椭圆方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得点的坐标为，再由点在第一象限，得，可得点的坐标为；（2）点到直线的距离的最大值为，由直线过原点且与垂直，得直线的方程为，利用点到直线距离公式可得，即，由式子特点，需消去即可，注意到，代入即可证明．

（1）设直线的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为；

（2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为.