Question

已知函数

若在上的最大值和最小值分别记为，求；

设若对恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）的取值范围．

【解析】

试题分析：（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求，由函数得，求函数在闭区间最值，可用导数法，故求导得，由于，故需对进行讨论，分，，三种情况，利用单调性，分别求出最大值和最小值即可；（2）设若对恒成立，求的取值范围，可令，由，得，即在上的值域是集合的子集，即求在上的最大值和最小值，让最大值小于等于，最小值大于等于，即可求出的取值范围，结合（1）分，，，四种情况讨论即可．

（1）因为，所以，由于，

（ⅰ）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，

（ⅱ）当时，若，，在上是增函数，，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，

（ⅲ）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；

（2）令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由（I）知，

（ⅰ）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；

（ⅱ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，

（ⅲ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，

（ⅳ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.