Question

如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.

当时，证明：直线平面；

是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由正方体的性质得，当时，证明，由平行于同一条直线的两条直线平行得，根据线面平行的判定定理证明平面；（2）解法1，如图2，连结，证明四边形与四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，证明是平面与平面所成的二面角的平面角，设存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，求出的值；解法2，以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，用向量法求解.

几何法：

（1）证明：如图1，连结，由是正方体，知，

当时，是的中点，又是的中点，所以，

所以，

而平面，且平面，

故平面.

（2）如图2，连结，因为、分别是、的中点，

所以，且，又，，

所以四边形是平行四边形，

故，且，

从而，且，

在和中，因为，，

于是，，所以四边形是等腰梯形，

同理可证四边形是等腰梯形，

分别取、、的中点为、、，连结、，

则，，而，

故是平面与平面所成的二面角的平面角，

若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，

连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，

连结，因为、是、的中点，所以，

在中，，，

，

由得，解得，

故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.

向量法：

以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，

由已知得，

所以，，，

（1）证明：当时，，因为，

所以，即，

而平面，且平面，

故直线平面.

（2）设平面的一个法向量，

由可得，于是取，

同理可得平面的一个法向量为，

若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，

则，

即，解得，

故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.

考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直，二面角.