Question

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.

（1）求轨迹为的方程；

（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

Answer

（1）；（2）当时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

【解析】

试题分析：（1）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为，联立方程组整理得 ，分类讨论①时；② ；③ 或；④ ，确定直线与轨迹的公共点的个数.

（1）设点，依题意，，即，

整理的，

所以点的轨迹的方程为.

（2）在点的轨迹中，记，，

依题意，设直线的方程为，

由方程组得 ①

当时，此时，把代入轨迹的方程得，

所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.

当时，方程①的判别式为 ②

设直线与轴的交点为，则由，令，得③

（ⅰ）若，由②③解得或.

即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰有一个公共点.

（ⅱ）若或，由②③解得或，

即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.

当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.

故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.

（ⅲ）若，由②③解得或，

即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.

故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

考点：两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系.