Question

为圆周率，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；

（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），，，，，.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、、的性质，确定，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的大小，从而确定与的大小关系，再根据，确定与的大小关系，最后确定6个数从小到大的顺序.

（1）函数的定义域为，因为，所以，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减；

故函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）因为，所以，，即，，

于是根据函数、、在定义域上单调递增，

所以，，

故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，

由及（1）的结论得，即，

由得，所以，

由得，所以，

综上，6个数中的最大数为，最小数为.

（3）由（2）知，，，又由（2）知，，

故只需比较与和与的大小，

由（1）知，当时，，即，

在上式中，令，又，则，即得①

由①得，，

即，亦即，所以，

又由①得，，即，所以，

综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.

考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.