Question

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2） .

【解析】

试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得,所以，因此,从而得；（2） （方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.

（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由 得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.

（1）证明：

（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，

由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，

又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，

又EF面EFO，所以EF⊥BC.

（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.

（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.

因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；

在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.

（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由 得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.

考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.