Question

已知函数，.

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

Answer

（1）详见解析；（2） 详见解析.

【解析】

试题分析：（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（2）考虑函数，令，则时，，

记，则 ，有（1）得，当时，，当时，.在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以，即命题得证.

（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.

（2）考虑函数，

令，则时，，

记，则 ，

有（1）得，当时，，当时，.

在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.

在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.

所以存在唯一的使.

因此存在唯一的，使.

因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.

因，所以

考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.