Question

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

Answer

（1）详见解析；（2） 详见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.（2）连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.由于ED是直径，即可得出结论.

（1）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.

由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.

由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.

（2）连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，

从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.

又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.

由于ED是直径，由（1）得ED=AB.

考点：1. 圆周角定理；2.与圆有关的比例线段．