Question

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

Answer

（1） （t为参数）；（2） .

【解析】

试题分析：（1）设为圆上的点，在曲线C上任意取一点（x，y），再根据，由于点在圆上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得 的坐标，可得线段 的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据 可得所求的直线的极坐标方程．

（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为  （t为参数）.

（2）由解得：，或.

不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，

化极坐标方程，并整理得

，即.

考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．