Question

如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结、,因为是菱形的中心，,以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长；.

（2）设平面的法向量为，平面PMC的法向量为，首先利用向量的数量积列方程求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式求出，进而求出二面角的正弦值.

【解析】

（1）如图，连结，因为菱形，则，且，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

因，故

所以

由知，

从而，即

设，则因为，

故即，所以（舍去），即.

（2）由（1）知，,

设平面的法向量为，平面的法向量为

由得故可取

由得故可取

从而法向量的夹角的余弦值为

故所求二面角的正弦值为.

考点：1、空间直线与平面垂直的性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的数量积及其应用.