Question

已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.

（1）确定的值；

（2）若，判断的单调性；

（3）若有极值，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）增函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由

因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；

（2）由（1），，当时，利用的符号判断的单调性；

（3）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.

【解析】
（1）对求导得，由为偶函数，知，

即，因，所以

又，故.

（2）当时，，那么

故在上为增函数.

（3）由（1）知，而，当时等号成立.

下面分三种情况进行讨论.

当时，对任意，此时无极值；

当时，对任意，此时无极值；

当时，令，注意到方程有两根，

即有两个根或.

当时，；又当时，从而在处取得极小值.

综上，若有极值，则的取值范围为.

考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.