Question

设

（1）若，求及数列的通项公式；

（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.

Answer

（1）；（2）存在，

【解析】

试题分析：（1）由

所以数列是等差数列，可先求数列再求数列的通项公式；也可以先根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，然后由数学归纳法证明.

（2）利用数列的递推公式构造函数，

由，然后结合函数的单调性，用数学归纳法证明即可.

解: （1）解法一：

再由题设条件知

从而是首项为0公差为1的等差数列，

故=，即

解法二：

可写为.因此猜想.

下用数学归纳法证明上式：

当时结论显然成立.

假设时结论成立，即.则

这就是说，当时结论成立.

所以

（2）解法一：设，则.

令，即，解得.

下用数学归纳法证明加强命：

当时，，所以，结论成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即

再由在上为减函数得.

故，因此，这就是说，当时结论成立.

综上，符合条件的存在，其中一个值为.

解法二：设，则

先证： ①

当时，结论明显成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即这就是说，当时结论成立，故①成立.

再证： ②

当时，，有，即当时结论②成立

假设时，结论成立，即

由①及在上为减函数，得

这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.

由②得

即

因此

又由①、②及在上为减函数得

即

所以解得.

综上，由②③④知存在使对一切成立.

考点：1、数列通项公式的求法；2、等差数列；3、函数思想在解决数列问题中的应用.4、数学归纳法.