Question

四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.

（1）证明：四边形是矩形；

（2）求直线与平面夹角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：，

由题设，∥面，面面，面面，所以∥，∥，所以∥，同理可得∥，即得四边形是平行四边形，同时可证，即证四边形是矩形；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，

，，，设平面的一个法向量因为∥,∥，所以，列出方程组，即可得到平面的一个法向量，与的夹角的余弦值的绝对值即为所求.

试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：

，

由题设，∥面

面面

面面

∥，∥， ∥.

同理∥，∥， ∥.

四边形是平行四边形

又

平面

∥,∥

四边形是矩形

（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，

，，

设平面的一个法向量

∥,∥

即得，取

考点：面面平行的性质；线面角的求法.