Question

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

（1）求的值；

（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

Answer

（1），；(2)

【解析】

试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；

（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，

由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，经检验符合题意，故直线的方程为.

试题解析：（1）在方程中，令，得

在方程中，令，得

所以

设的半焦距为，由及，解得

所以，

（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，

易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为

代入的方程中，整理得：

（*）

设点的坐标

由韦达定理得

又，得，从而求得

所以点的坐标为

同理，由得点的坐标为

，

,即

，，解得

经检验，符合题意，

故直线的方程为

考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.