Question

设函数，其中是的导函数.

，

(1)求的表达式；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，比较与的大小，并加以证明.

Answer

（1）；（2）；（3），证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）易得，且有，当且仅当时取等号，当时，，当时，由，得，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，继而得，经检验，所以；

在范围内恒成立，等价于成立，令 ，即成立，，令，得，分和两种情况讨论，分别求出的最小值，继而求出的取值范围；

（3）由题设知：，，比较结果为：，证明如下：上述不等式等价于

在（2）中取，可得，令，则，即，使用累加法即可证明结论.

试题解析：，，

（1）

，，，，即，当且仅当时取等号

当时，

当时

，，即

数列是以为首项，以1为公差的等差数列

当时，

（2）在范围内恒成立，等价于成立

令，即恒成立，

令，即，得

当即时，在上单调递增

所以当时，在上恒成立；

当即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以

设

因为，所以，即，所以函数在上单调递减

所以，即

所以不恒成立

综上所述，实数的取值范围为

（3）由题设知：，

比较结果为：

证明如下：

上述不等式等价于

在（2）中取，可得

令，则，即

故有

上述各式相加可得：

结论得证.

考点：等差数列的判断及通项公式；函数中的恒成立问题；不等式的证明.