Question

已知各项为正数的数列中，，对任意的，成等比数列，公比为；成等差数列，公差为，且．

（1）求的值；

（2）设，证明：数列为等差数列；

（3）求数列的前项和．

Answer

（1）2；（2）或；（3）时，，时，.

【解析】

试题分析：（1）求数列的，相对较容易，由题意可得成等比数列，而，可求得；（2）要证明是等差数列，实质上就是求，求出的递推关系，从而推导出的递推关系，由题意，，而，这样就有，于是关于的递推关系就有了：，把它变形或用代入就可得到结论；（3）由（2）我们求出了，下面为了求，我们要把数列从前到后建立一个关系，分析已知，发现，这样就由而求出，于是，，得到数列的通项公式后，其前项和也就可求得了.

试题解析：（1）由题意得

，，或. 2分

∵，∴． 4分

（2）∵成公比为的等比数列，

成公比为的等比数列

∴，

又∵成等差数列，

∴.

得，， 6分

，

∴，，即.

∴数列数列为公差等差数列， 10分

（3）由（1）数列的前几项为，，

由（2），.

，，

，

. 16分