Question

如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的轨迹方程；

（2）若直线和分别交曲线于点、和、，

求四边形的周长；

（3）已知曲线为椭圆，写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．

Answer

（1）圆的方程为，曲线的方程为（）；（2）；（3）对称轴：直线，顶点，，焦点坐标为，.

【解析】

试题分析：（1）圆的半径等于圆心到切线的距离，曲线的方程可通过已知变形得到，条件是，，把已知式平方可得，即，化简可得，这就是我们所要求的方程；（2）这题相对来讲较简单，只要把直线方程与曲线方程联立方程组就可解得两点坐标，同理得两点坐标，四边形周长随之而得；（3）已知曲线为椭圆，要找它的对称轴，我们要通过方程证明直线是其对称轴，证明方法是设是曲线上任一点，它关于直线的对称点，关于直线的对称点为，只要能证明也是曲线上的点，即说明直线是其对称轴．接着求出曲线与对称轴的交点即椭圆的顶点，这样可求得长轴长和短轴长，根据公式，求出半焦距，这样可求出焦点.

试题解析：（1）由题意圆的半径，

故圆的方程为. 2分

由得，，

即，得

（）为曲线的方程.（未写范围不扣分） 4分

（2）由解得：或，

所以，A（，），C（－，－）

同理，可求得B（1,1），D（－1,－1）

所以，四边形ABCD的周长为：

（3）曲线的方程为（），

它关于直线、和原点对称，下面证明：

设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，

同理曲线关于直线和原点对称.

可以求得和直线的交点坐标为

和直线的交点坐标为，

，，，.

在上取点.

曲线为椭圆：

其焦点坐标为.

考点：(1)圆的标准方程与曲线的方程；（2）直线与曲线的交点；（3）椭圆的几何性质.