Question

如图，几何体中，为边长为的正方形，为直角梯形，，，，，．

（1）求异面直线和所成角的大小；

（2）求几何体的体积．

Answer

(1) ；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求异面直线所成的角，一般根据定义，过异面直线中的一条上某一点作中一条直线的平行线，把异面直线所成的角化为相交直线所夹的锐角或直角，而这可能通过在三角形中求得,如果图形中有两两相互垂直且交于同一点的三条直线，那么我们可以建立空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为空间两向量的夹角，要注意异面直线所成的角的范围是，而向量的夹角范围是，解题时注意转化；（2）这个几何体我们要通过划分，把它变成几个可求体积的几何体，如三棱锥和四棱锥，这两个棱锥的体积都易求，故原几何体的体积也易求得．

试题解析：（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.

由题意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可证面.

∵ ，，

∴为平行四边形，

∴.

则（或其补角）为异面直线和

所成的角. 3分

由平面几何知识及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

．

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为． 7分

解法二：同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线

分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2分

可得，

∴ ，

得. 4分

设向量夹角为，则

．

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为． 7分

（２）如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且. 9分

∵ 11分

.

∴ 几何体的体积为. 14分

考点：（1）异面直线所成的角；（2）几何体的体积．