Question

为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．

（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；

如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

Answer

(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.

【解析】

试题分析：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.

试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：

2分

，.

∵，在上为增函数，

可求得. 5分

∴ 国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分

（2）设平均处理成本为 9分

11分

当且仅当时等号成立，由 得．

因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分

考点：函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.