Question

已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．

（1）写出数列的前四项；

（2）设，求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和．

Answer

（1）或；（2）或；（3）时，，时，.

【解析】

试题分析：（1）求数列的前4项，相对较容易，由题意可得成等比数列，而，要求得，对应再求得；（2）要求，实质上就是求，我们应求出的递推关系，从而求出通项，由题意，，而，这样就有，于是关于的递推关系就有了：，把它变形或用代入就可得到结论；（3）由（2）我们求出了，下面为了求，我们要把数列从前到后建立一个关系，分析已知，发现，这样就由而求出，于是，，得到数列的通项公式后，其前项和也就可求得了. 另外由于第（1）题中已知求出的数列的前4项（我们还可再求出接下来的一些项，增强想象），然后用猜想的方法猜测出其通项公式（），再数学归纳法证明之.

试题解析：（1）由题意得

，，或. 2分

故数列的前四项为或. 4分

（2）∵成公比为的等比数列，

成公比为的等比数列

∴，

又∵成等差数列，

∴.

得，， 6分

，

∴，，即.

∴ 数列数列为公差等差数列，且或. 8分

∴或. 10分

（3）当时，由（2）得.

，，

，

. 13分

当时，同理可得，. 16分

解法二：（2）对这个数列，猜想， 下面用数学归纳法证明：

ⅰ）当时，，结论成立.

ⅱ）假设时，结论成立，即.

则时，

由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，

∴ 时结论也成立.

所以由数学归纳法原理知. 7分

此时.

同理对这个数列，同样用数学归纳法可证. 此时.

∴或. 10分

（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.

显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形.

由（2），且成等比数列，

故，即结论对也成立.

从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时. 13分

对于这个数列，同样用数学归纳法可证，此时.

此时. 16分

考点：（1）数列的项；（2）等差数列、等比数列与递推公式；（3）累乘法，构造法求通项公式. 或数学归纳法.