Question

如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；

（2）若两条直线和分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．

（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．

Answer

（1）圆的方程为，曲线的方程为（）；（2）当时，四边形的面积最大值为；（3）证明见解析，其焦点坐标为，.

【解析】

试题分析：（1）圆的半径等于圆心到切线的距离，曲线的方程可通过已知变形得到，条件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）从方程可看出，即，因此，我们把方程与曲线方程联立方程组可解得两点坐标，从而得到，把中的，用代可得出，从而求出，变形为，易知，故当即时，取得最大值，为了求最大值，也可作变形，应用基本不等式基本不等式知识得出结论；（3）要证曲线为椭圆，首先找它的对称轴，从方程中可看出直线是其对称轴，接着求出曲线与对称轴的交点即椭圆的顶点，这样可求得长轴长和短轴长，根据公式，求出半焦距，这样可求出焦点，下面我们只要按照椭圆的定义证明曲线的点到两定点的距离之和为定值，也可求出到两定点的距离之和为定值的点的轨迹方程是曲线的方程，这样就完成了证明.

试题解析：（1）由题意圆的半径，

故圆的方程为. 2分

由得，，

即，得

（）为曲线的方程.（未写范围不扣分） 4分

（2）由得，，

所以，同理. 6分

由题意知 ，所以四边形的面积.

，

∵ ，∴ . 8分

当且仅当时等号成立，此时.

∴ 当时，四边形的面积最大值为. 10分

（3）曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，下面证明：

设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，

同理曲线关于直线和原点对称.

可以求得和直线的交点坐标为

和直线的交点坐标为，

，，，.

在上取点

下面证明曲线为椭圆：

ⅰ）设为曲线上任一点，则

（因为）

.

即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.

ⅱ）若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）.

故曲线是椭圆，其焦点坐标为. 18分

第（3）问说明：

1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，

2. 直接写出焦点的坐标给3分，未写出理由不扣分.

考点：(1)圆的标准方程与曲线的方程；（2）直线与曲线相交的弦长与面积，函数的最值；（3）椭圆的定义与性质.