Question

如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，

线段的垂直平分线为.

①求的面积的最大值；

②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.

Answer

（1）参考解析；（2）①；②参考解析

【解析】

试题分析：（1）由于c的大小没确定，所以点A的轨迹，根据c的大小有三种情况.

（2）①由可得点A的轨迹方程为椭圆，求的面积的最大值即求出点A到直线距离的最大值.即点A在椭圆的上顶点上即可.本小题通过建立三角函数同样可以求得三角形面积最大时的情况.

②当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称.当直线AC不垂直于时，不存在除、外的两点、关于直线对称.通过假设存在，利用点差法即可得到，.由于H,M分别是两条弦的中点，并且都被直线m平分.所以.由.所以不存在这样的直线.

试题解析：（1）因为，轨迹是以、为焦点的椭圆，3分

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为7分

①解法1：设表示点到线段的距离

，8分

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为10分

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得8分

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为10分

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称11分

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称12分

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为直线

由于在上，故①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得②14分

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.16分

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，14分

则，故直线经过原点.15分

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称16分

考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用.