Question

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：函数是等比源函数；

（3）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论.

Answer

（1）①②都是等比源函数；（2）参考解析；（3）参考解析

【解析】

试题分析：（1）函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.由等比源函数的定义可知.令x=1,2,4.即可得函数对应的三项为等比数列.令x=10,100,10000即可得函数对应的三项成等比数列.所以①②都是等比源函数.

（2）由函数，通过列举三项即可得到证明.

（3）函数，不是等比源函数.假设存在三项使得函数是等比源函数，利用等比数列的等比通项的知识，以及奇偶性的知识即可得到函数，不是等比源函数.

试题解析：（1）①②都是等比源函数；4分

（2）证明：，，

因为成等比数列

所以函数是等比源函数；10分

其他的数据也可以

（3）函数不是等比源函数.证明如下：

假设存在正整数且，使得成等比数列，

，整理得，

等式两边同除以得.

因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式不可能成立，

所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.18分

考点：1.新定义函数的概念.2.列举递推的思想.3.反正法思想的应用.