Question

如图，在直三棱柱中，，．若为的中点，求直线与平面所成的角.

Answer

60°

【解析】

试题分析：因为在直三棱柱中，，．若为的中点，需求直线与平面所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面的法向量与直线所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.

试题解析：方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建系，则，则 2分；

设平面A1BC1的一个法向量，则，

则，取，则 6分

设AD与平面A1BC1所成的角为，

则= 10分

则,∴AD与平面A1BC1所成的角为 12分

方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．

从而得 AB1⊥平面A1BC1． 4分

设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，

于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角． 6分

在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，

所以sin∠AGO＝＝． 10分

故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°． 12分

考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.