Question

已知函数，，．

（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；

（2）当时，求证函数存在反函数．

Answer

（1）增函数；（2）参考解析

【解析】

试题分析：（1）当时，，.通过函数的单调性的定义可证得函数，单调递增.

（2）由，所以将x的区间分为两类即和.所以函数.由（1）可得函数是递增函数.应用单调性的定义同样可得函数是递增.根据反函数的定义可得函数存在反函数.

试题解析：(1)判断：若，函数在上是增函数.

证明：当时，，

在上是增函数.2分

在区间上任取，设，

所以，即在上是增函数.6分

(2)因为，所以8分

当时，在上是增函数，9分

证明：当时，在上是增函数（过程略）11分

在在上也是增函数，当时，上是增函数12分

所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，

所以时，存在反函数14分

考点：1.函数的单调性.2.函数单调性的定义.3.反函数的概念.